25 febrero 2009

El andar del borracho

La pasada primavera apareció en castellano el último libro de Leonard Mlodinow, pupilo de Feynman, guionista de Star Trek y resumidor de algunos bestsellers de Stephen Hawking, entre otras divertidas ocupaciones. Por esa misma época, daba la siguiente charla en la sede de Google:



Entre el minuto 5 y el 11, expone el siguiente y divertido ejemplo. En noviembre de 2006 apareció en CNN Money una noticia con el siguiente titular:

“El mayor gestor de fondos de nuestro tiempo”

en el que se elogian las habilidades como inversor de Bill Miller después de que los beneficios de sus fondos hayan encabezado superado el índice S&P 500 durante 15 años consecutivos, entre 1991 y 2005. Si el hecho no parece lo suficientemente impresionante, ya se encargan los expertos de remarcarlo, pues, según se puede leer en este otro artículo, la probabilidad de batir el índice S&P 500 durante 13 años consecutivos es de una entre 149.012 (en el mismo titular), mientras que la probabilidad de batirlo otro año más sería de una entre 372.529, todo ello según expertos y sesudos analistas. ¡Y Bill Miller lo ha hecho durante 15 años! Una probabilidad extremadamente baja como para que sea producto de la suerte. En otros medios lo calificaron como la mayor hazaña de los últimos 40 años. Puestas así las cosas, no debería ser algo que ocurre todos los días, la verdad. ¿Seguro?

Y ahora es cuando Leonard Mlodinow, el científico, decide analizar el fenómeno con mayor juicio. Pues, como muy bien dice, para destacar un resultado hay que diseñar experimentos de manera que lo distingan de cualquier otro producido por el mero azar. Así, vamos a considerar a qué resultado llegaríamos con un modelo basado en el azar. Por ejemplo, supongamos que la probabilidad de que un gestor encabece suepere el índice S&P 500 un año cualquiera es del 50% –como lanzar una moneda, vamos- . Entonces, la probabilidad de Bill Miller de batir el índice durante 15 años consecutivos, desde 1991 a 2005, es de una en 32.768 -1/2 multiplicado por sí mismo 15 veces-. Un orden de magnitud mejor que las estimaciones de los sesudos analistas, pero lo suficientemente bajo aún como para no echar las campanas al vuelo. Pero, claro, en realidad no tenemos sólo una persona invirtiendo en el índice, sino miles de ellas –si no es Bill Miller, ¿por qué no podría ser otro?-. Informándose Leonard en las fuentes que escriben esos artículos, pues imagina que deben saber más que él del asunto, averigua que debe haber 1000 gestores muy capaces –nos quedamos con la primera división, vamos-. Así que Leonard les coge el testigo y, claro, ahora la probabilidad de que alguien entre esos mil pueda batir el índice durante 15 años consecutivos es del 3% –la anterior sumada mil veces, o multiplicada por mil-. Uy, la cosa va subiendo. Pero, claro –sí, otra vez-, ¿y por qué restringirnos al periodo entre 1991 y 2004?, ¿por qué no entre 1990 y 2004?, ¿o entre 1984 y 1998? Ya que ha sido calificada como la mayor hazaña en 40 años, ¿por qué no cogemos todos los periodos posibles de 15 años durante los 40 últimos años hasta el 2005? Si tenemos en cuenta esto, hay 25 posibles periodos de 15 comenzando hace 40 años. Así que, ahora, la probabilidad de que alguien entre esos mil gestores de fondos pueda batir al azar el índice durante 15 años consecutivos comenzando hace 40 años es del 75% -la anterior sumada 25 veces, o multiplicada por 25-.

Bueno, ante alguna risa amagada en el auditorio –la educación ante todo-, Leonard concluye su gracioso ejemplo con que, quizás, en vez del titular con el que comenzaba este ejemplo, este otro hubiera sido más adecuado:

“La esperada racha de 15 años consecutivos ha ocurrido finalmente. Bill Miller es el afortunado”